Дед Мороз решил упаковать подарки по коробкам, чтобы их было удобнее перевозить. Сначала он разложил их по 4 штуки в каждую коробку, потом по 5, затем по 6, и всегда оставался один подарок. Тогда он решил положить в каждую коробку по 7 штук, и тогда лишних подарков не осталось. Сколько было подарков, если известно, что их было меньше 400?

Пусть количество подарков — \( N \).

По условию: \( N \equiv 1 \pmod{4} \), \( N \equiv 1 \pmod{5} \), \( N \equiv 1 \pmod{6} \), и \( N \equiv 0 \pmod{7} \).

Так как 4, 5, 6 имеют наименьшее общее кратное 60, то \( N = 60k + 1 \) для некоторого целого \( k \).

Подставляем в условие делимости на 7: \( 60k + 1 \equiv 0 \pmod{7} \). Поскольку \( 60 \equiv 4 \pmod{7} \), получаем \( 4k + 1 \equiv 0 \pmod{7} \), то есть \( 4k \equiv 6 \pmod{7} \). Умножаем обе части на обратный элемент к 4 по модулю 7 (это 2, так как \( 4 \cdot 2 = 8 \equiv 1 \)): \( k \equiv 12 \equiv 5 \pmod{7} \).

Значит, \( k = 5, 12, 19, \dots \). При \( k = 5 \): \( N = 60 \cdot 5 + 1 = 301 < 400 \). При \( k = 12 \): \( N = 721 > 400 \).

Ответ: 301 подарок.

0 0 Пожаловаться