Покажите, что линейная оболочка системы многочленов -3t²-1, 2t²+t, -t совпадает с пространством P₂ всех многочленов степени ≤2.

Рассмотрим многочлены как векторы в базисе \( \{t^2, t, 1\} \):

• \( -3t^2 - 1 \rightarrow (-3, 0, -1) \)
• \( 2t^2 + t \rightarrow (2, 1, 0) \)
• \( -t \rightarrow (0, -1, 0) \)

Составим матрицу из этих векторов-столбцов и найдём её определитель:

\[ \begin{vmatrix} -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -3 \cdot (1\cdot 0 - (-1)\cdot 0) - 2 \cdot (0\cdot 0 - (-1)\cdot (-1)) + 0 = -2 \cdot (-1) = 2 \neq 0. \]

Определитель не равен нулю, значит, векторы линейно независимы. Три линейно независимых вектора в трёхмерном пространстве \( P_2 \) образуют базис, поэтому их линейная оболочка совпадает со всем пространством многочленов степени не выше 2.

Отправить ответ