Найдите все простые числа p, q такие, что число p² + q⁴ + 4 также является простым.

Рассмотрим чётность. Если \(p\) и \(q\) — нечётные простые числа, то \(p^2\) и \(q^4\) нечётны, их сумма чётна, и \(p^2+q^4+4\) чётно и больше 2, значит, составное. Поэтому хотя бы одно из чисел равно 2.

Случай 1: \(q = 2\). Тогда \(p^2 + 2^4 + 4 = p^2 + 20\). Проверим \(p=2\): \(4+20=24\) — не простое. При \(p=3\): \(9+20=29\) — простое. Если \(p>3\), то \(p\) не делится на 3, \(p^2 \equiv 1 \pmod{3}\), тогда \(p^2+20 \equiv 21 \equiv 0 \pmod{3}\), и число больше 3, значит, составное. Итак, решение: \((3,2)\).

Случай 2: \(p = 2\). Тогда \(4 + q^4 + 4 = q^4 + 8\). При \(q=2\): \(16+8=24\) — не простое. При \(q=3\): \(81+8=89\) — простое. Если \(q>3\), то \(q^4 \equiv 1 \pmod{3}\), \(q^4+8 \equiv 9 \equiv 0 \pmod{3}\), составное. Решение: \((2,3)\).

Ответ: \((p,q) = (2,3)\) и \((3,2)\).

0 0 Пожаловаться