x+y+z=1
x2+y2+z2=4
x3+y3+z3=6
x4+y4+z4=?

Обозначим:

\[p_1=x+y+z=1,\quad p_2=x^2+y^2+z^2=4,\quad p_3=x^3+y^3+z^3=6\]

Нужно найти \(p_4=x^4+y^4+z^4\).

Пусть \(x,y,z\) — корни некоторого кубического уравнения. По формулам Ньютона:

\[p_2-e_1p_1+2e_2=0\]

Так как \(e_1=x+y+z=1\), получаем:

\[4-1\cdot1+2e_2=0\]

\[e_2=-\frac{3}{2}\]

Дальше:

\[p_3-e_1p_2+e_2p_1-3e_3=0\]

\[6-4-\frac{3}{2}-3e_3=0\]

\[e_3=\frac{1}{6}\]

Теперь для четвёртой степени:

\[p_4-e_1p_3+e_2p_2-e_3p_1=0\]

\[p_4-6-6-\frac{1}{6}=0\]

\[p_4=\frac{73}{6}\]

Ответ: \(x^4+y^4+z^4=\frac{73}{6}\).

0 0 Пожаловаться