(100 б.) Найдите область значений функции y = (4x - 12) / x^2.

Рассмотрим функцию

Область определения: $x \ne 0$, так как в знаменателе стоит $x^2$.

Нужно найти область значений, то есть все возможные значения $y$.

Перепишем функцию:

Умножим обе части на $x^2$:

Перенесём всё в одну сторону:

Теперь рассматриваем это как квадратное уравнение относительно $x$. Чтобы при данном $y$ существовало хотя бы одно действительное значение $x$, дискриминант должен быть неотрицательным:

Здесь:

Тогда

Требуем:

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

Значение $y=\frac13$ действительно достигается. Проверим:

При $x=6$:

Значит, $\frac13$ входит в область значений.

Снизу функция не ограничена, потому что при $x \to 0$ знаменатель стремится к нулю, а числитель стремится к $-12$, поэтому значение функции стремится к $-\infty$.

Ответ: