Найти:
1) Область определения и множество значений функции;
2) Нули функции;
3) Промежутки возрастания и убывания функции;
4) Значения x, при которых функция принимает положительные и отрицательные значения;
5) Экстремумы функции;
6) Чётность и нечётность функции;
7) Наибольшее и наименьшее значения функции.

Примечание:
1) Построить график функции.
2) Ответы оформить подробно.

Пример:
F(x) = 2x² - 4x + 3

Рассмотрим функцию:

\[f(x)=2x^2-4x+3\]

Приведём её к виду с квадратом двучлена:

\[f(x)=2(x^2-2x)+3=2(x-1)^2+1\]

1. Область определения и множество значений

Это квадратичная функция, поэтому область определения:

\[D(f)=(-\infty;+\infty)\]

Так как \(2(x-1)^2\ge 0\), то наименьшее значение функции равно \(1\). Множество значений:

\[E(f)=[1;+\infty)\]

2. Нули функции

Найдём, когда \(f(x)=0\):

\[2x^2-4x+3=0\]

Дискриминант:

\[D=(-4)^2-4\cdot2\cdot3=16-24=-8\]

Так как \(D<0\), нулей функции нет.

3. Промежутки возрастания и убывания

Вершина параболы находится при \(x=1\). Ветви направлены вверх, поэтому функция убывает на \((-\infty;1]\) и возрастает на \([1;+\infty)\).

4. Где функция положительна и отрицательна

Так как наименьшее значение функции равно \(1\), функция всегда положительна:

\[f(x)>0\text{ при всех }x\in\mathbb{R}\]

Отрицательных значений функция не принимает.

5. Экстремумы

Минимум функции достигается в вершине параболы:

\[x=1,\quad f(1)=1\]

Точка минимума: \((1;1)\). Максимума нет.

6. Чётность и нечётность

Функция не является ни чётной, ни нечётной, потому что её график не симметричен ни относительно оси \(Oy\), ни относительно начала координат.

7. Наибольшее и наименьшее значения

Наименьшее значение:

\[f_{\min}=1\]

Наибольшего значения нет, потому что ветви параболы уходят вверх бесконечно.

График

График функции — парабола с вершиной \((1;1)\), осью симметрии \(x=1\), ветви направлены вверх.

0 0 Пожаловаться