Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на множестве:
1) f(x) = |x³ - 1| - 3x, [-1; 3];

Рассмотрим функцию

Выражение под модулем меняет знак при

Поэтому исследуем функцию отдельно на двух промежутках.

1. Промежуток $[-1;1]$

При $x\leq 1$ выполняется $x^3-1\leq 0$, поэтому

Следовательно,

Найдём производную:

Так как $x^2+1>0$ при любом $x$, то

Значит, функция на отрезке $[-1;1]$ строго убывает. Поэтому наибольшее значение достигается при $x=-1$, а наименьшее — при $x=1$:

2. Промежуток $[1;3]$

При $x\geq 1$ имеем $x^3-1\geq 0$, поэтому

Тогда

Производная:

На промежутке $[1;3]$ производная неотрицательна, а при $x>1$ положительна. Следовательно, функция возрастает. Наименьшее значение на этом промежутке достигается при $x=1$, а наибольшее — при $x=3$:

Сравнивая полученные значения, получаем: