3. Линейная функция, т. е. функция вида f(x) = kx + b, при k > 0 является возрастающей, а при k < 0 — убывающей (рис. 4). Докажите это самостоятельно.

Рассмотрим линейную функцию
$f(x) = kx + b$.

Возьмём любые два числа $x_1$ и $x_2$, причём $x_2 > x_1$. Нужно выяснить, как сравниваются значения $f(x_2)$ и $f(x_1)$.

Вычислим разность:

Раскроем скобки:

Сократим $b$:

Вынесем $k$ за скобку:

Теперь анализируем знак выражения.

1. Случай $k > 0$

Так как $x_2 > x_1$, то $x_2 - x_1 > 0$.
Поскольку $k > 0$, произведение $k(x_2 - x_1) > 0$.

Значит:

Следовательно, функция возрастает.

2. Случай $k < 0$

Здесь $x_2 - x_1 > 0$, но $k < 0$, значит произведение:

Следовательно:

Значит функция убывает.

Вывод

Знак коэффициента $k$ определяет монотонность линейной функции:

• при $k > 0$ функция возрастает;

• при $k < 0$ функция убывает.