А) Целое число даёт при делении на 4 остаток 2, а при делении на 7 — остаток 5. Найдите остаток от деления этого числа на 28. Б) Найдите все числа, которые при делении на 11 дают остаток 9, а при делении на 3 — остаток 2. С объяснением, пожалуйста!

А)
Пусть число $x$.

Дано:

• $x \equiv 2 \pmod{4}$

• $x \equiv 5 \pmod{7}$

Так как 4 и 7 взаимно просты, можно искать решение по модулю $28$ (так как $28 = 4 \cdot 7$).

Сначала выпишем числа, которые дают остаток 2 при делении на 4:
$2, 6, 10, 14, 18, 22, 26 \ (\text{mod } 28)$

Теперь проверим, какое из них даёт остаток 5 при делении на 7:

• 2 ÷ 7 → остаток 2

• 6 ÷ 7 → остаток 6

• 10 ÷ 7 → остаток 3

• 14 ÷ 7 → остаток 0

• 18 ÷ 7 → остаток 4

• 22 ÷ 7 → остаток 1

• 26 ÷ 7 → остаток 5 ✔

Подходит число 26.

Значит:
$x \equiv 26 \pmod{28}$

Ответ: остаток от деления на 28 равен 26.

Б)
Пусть число $x$.

Дано:

• $x \equiv 9 \pmod{11}$

• $x \equiv 2 \pmod{3}$

Ищем числа, удовлетворяющие обоим условиям.

Сначала рассмотрим числа вида:
$x = 9, 20, 31, 42, 53, \dots$ (то есть $x = 9 + 11k$)

Теперь проверим их по модулю 3:

• 9 ÷ 3 → остаток 0

• 20 ÷ 3 → остаток 2 ✔

• 31 ÷ 3 → остаток 1

• 42 ÷ 3 → остаток 0

• 53 ÷ 3 → остаток 2 ✔

Видно, что подходят 20 и 53, а дальше период повторяется через НОК(11,3)=33.

Значит общее решение:

То есть все такие числа имеют вид:

Ответ: все числа вида 20 + 33k, где $k$ — целое число.