При каких значениях a уравнения x² + 2(a-3)x + (a²-7a+12) = 0 и x² + (a²-5a+6)x = 0 равносильны?

Даны уравнения:

и

Они равносильны, если имеют одинаковые решения.

Рассмотрим второе уравнение:

Вынесем $x$ за скобку:

Отсюда одним из корней всегда является:

Чтобы первое уравнение было равносильно второму, оно тоже должно иметь корень $x=0$. Подставим $x=0$ в первое уравнение:

Разложим на множители:

Получаем:

Отсюда:

Проверим оба значения.

1) $a=3$

Первое уравнение:

Корень: $x=0$.

Второе уравнение:

Корень тот же: $x=0$. Уравнения равносильны.

2) $a=4$

Первое уравнение:

Корни: $x=0$ и $x=-2$.

Второе уравнение:

Получаем те же корни.

Следовательно, оба значения подходят: