В ортонормированном базисе i, j, k заданы векторы a = 2i - j - k, b = 4i - 3j, c = -5k. Вектор s является линейной комбинацией этих векторов: s = 2a + b + 3c. Найдите координаты вектора s в базисе i, j, k.

Дано:

В ортонормированном базисе $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ заданы векторы:

Вектор $\mathbf{s}$ является линейной комбинацией этих векторов:

Требуется найти: координаты вектора $\mathbf{s}$ в базисе $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$.

Решение

Шаг 1. Запишем координаты исходных векторов.

Поскольку базис ортонормированный, координаты векторов определяются коэффициентами при базисных векторах:

Шаг 2. Умножим векторы на соответствующие коэффициенты.

Умножаем каждую координату вектора $\mathbf{a}$ на 2:

Вектор $\mathbf{b}$ остаётся без изменений:

Умножаем каждую координату вектора $\mathbf{c}$ на 3:

Шаг 3. Найдём сумму полученных векторов.

По условию:

Подставляем координаты:

Складываем соответствующие координаты:

• По оси $\mathbf{i}$: $4+4+0=8$.

• По оси $\mathbf{j}$: $-2-3+0=-5$.

• По оси $\mathbf{k}$: $-2+0-15=-17$.

Получаем:

Таким образом, вектор в базисе $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ имеет вид:

Ответ: