В окружность радиуса 4 см вписан квадрат, в который снова вписана окружность, и т. д. Найдите сумму длин всех таких окружностей.

Радиус первой окружности равен \(4\) см.

Квадрат, вписанный в эту окружность, имеет диагональ \(8\) см, поэтому его сторона равна:

\[a=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\text{ см}.\]

Радиус следующей окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата:

\[r_2=2\sqrt{2}\text{ см}.\]

Радиусы окружностей образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Тогда сумма длин окружностей:

\[L=2\pi\cdot4\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}+\ldots\right)=8\pi(2+\sqrt{2})\text{ см}.\]

Ответ: \(8\pi(2+\sqrt{2})\) см.

0 0 Пожаловаться