Монету бросают 4 раз. Случайная величина X - число выпадений герба. Составить ее закон распределения.

Решение задачи

Мы решаем задачу нахождения закона распределения случайной величины $X$, которая равна числу выпадений герба при четырёхкратном броске монеты.

1. Возможные значения $X$

Поскольку монета бросается 4 раза, $X$ может принимать значения:

Это соответствует ситуациям, когда герб выпадает 0, 1, 2, 3 или 4 раза.

2. Вероятность выпадения герба

Для честной монеты вероятность выпадения герба ($P(H)$) и решки ($P(T)$) равна $0.5$.

3. Вероятность каждого значения $X$

Чтобы найти вероятность каждого значения $X$, используем биномиальное распределение. Вероятность $P(X = k)$, где $k$ — число выпадений герба, вычисляется по формуле биномиального распределения:

где:

• $n = 4$ — число испытаний (бросков);
• $k$ — число выпадений герба;
• $p = 0.5$ — вероятность выпадения герба;
• $C_n^k$ — биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

4. Подсчёт вероятностей

Для каждого $k$ подставим значения в формулу.

1. Для $X = 0$:

2. Для $X = 1$:

3. Для $X = 2$:

4. Для $X = 3$:

5. Для $X = 4$:

5. Закон распределения

Запишем закон распределения случайной величины $X$ в виде таблицы:

6. Проверка нормировки

Сумма всех вероятностей должна быть равна 1:

Условие нормировки выполнено.

Итог

Закон распределения случайной величины $X$, числа выпадений герба при четырёх бросках монеты, представлен в таблице выше.