BaCO3 - слабый электролит?

Короткий ответ: нет, BaCO₃ обычно не относят к «слабым электролитам».

Почему.
«Слабый электролит» — это вещество, хорошо растворимое в воде, но лишь частично диссоциирующее (уксусная кислота, HF, NH₃·H₂O и т.п.). У карбоната бария другая причина низкой проводимости: он практически нерастворим в воде. Для него справедливо равновесие растворимости

BaCO₃(тв) ⇌ Ba²⁺ + CO₃²⁻, Kₛₚ ≈ 10⁻⁹,

откуда предельная растворимость порядка 10⁻⁴–10⁻⁵ моль/л. То есть ионов в растворе очень мало. Однако та ничтожная доля, что растворяется, диссоциирует практически полностью (как у типичной «сильной» соли). Поэтому говорить «слабый электролит» здесь некорректно — правильнее: «труднорастворимая соль; в воде практически неэлектролит».

Нюанс. В кислой среде BaCO₃ растворяется за счёт реакции:

BaCO₃ + 2H⁺ → Ba²⁺ + CO₂↑ + H₂O,

и тогда раствор проводит ток нормальнее — но это уже следствие химического растворения в кислоте, а не «усиления» электролита.