Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми A1D и AB1. 1)30° 2)60° 3)45° 4)90°

Ответ: 2) 60°

Решение. Введём координаты для куба ребра $a$:
$A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$;
$A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$.

Направляющий вектор прямой $A_1D$:

Направляющий вектор прямой $AB_1$:

Скалярное произведение:

Длины:

Косинус угла между прямыми (берём острый угол):

Итак, угол между прямыми $A_1D$ и $AB_1$ равен $60^\circ$.