Высота и медиана, проведённые из одной вершины треугольника, разделили его угол на 3 равные части. Найдите углы треугольника.

Обозначу вершину, из которой проведены высота и медиана, за $A$. Пусть $\angle A=3\alpha$. Высота $AD$ и медиана $AM$ делят этот угол на три равные части, значит лучи идут в порядке $AB,\ AM,\ AD,\ AC$, и углы между соседними лучами равны $\alpha$.

Удобно перейти к координатам: положим $A=(0,0)$, луч $AB$ — по оси $Ox$, а луч $AC$ образует с $Ox$ угол $3\alpha$. Пусть $AB=c$, $AC=b$. Тогда

Условие на медиану. Точка середины $M$ отрезка $BC$ имеет координаты

Луч $AM$ образует с $Ox$ угол $\alpha$, поэтому

Условие на высоту. Прямая $BC$ имеет вектор направления

Луч $AD$ перпендикулярен $BC$ и образует с $Ox$ угол $2\alpha$. Значит его угловой коэффициент равен $\tan 2\alpha$, а угловой коэффициент $BC$ равен $\dfrac{b\sin 3\alpha}{\,b\cos 3\alpha-c\,}$. Перпендикулярность даёт

Введём отношение $r=\dfrac{c}{b}$. Из (1) получаем

а из (2)

Приравнивая эти выражения для $r$, получаем уравнение по $\alpha$:

Его единственное решение в $(0^\circ,60^\circ)$ — $\alpha=30^\circ$. Следовательно,

Теперь из (1), (или из (2)) находим $r=\dfrac{c}{b}=\sqrt{3}$. Значит в прямоугольном треугольнике при $A$ катеты относятся как $AB:AC=\sqrt{3}:1$, откуда острые углы равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: углы треугольника — $30^\circ,\ 60^\circ,\ 90^\circ$.