Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см провели перпендикуляр длиной 12 см. Найти расстояние от конца этого перпендикуляра до середины гипотенузы.

Для решения задачи нужно использовать несколько геометрических понятий, в частности, свойство прямоугольного треугольника и перпендикуляра, проведенного из вершины прямого угла на гипотенузу.

1. Найдем длину гипотенузы. В прямоугольном треугольнике с катетами 6 см и 8 см длина гипотенузы вычисляется по теореме Пифагора:

   $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см}$$

2. Используем свойство перпендикуляра, проведенного из прямого угла на гипотенузу. В любом прямоугольном треугольнике, если из вершины прямого угла проведен перпендикуляр к гипотенузе, то этот перпендикуляр делит гипотенузу на два отрезка, и он является средним геометрическим этих отрезков.

3. Найдем расстояние от конца перпендикуляра до середины гипотенузы. Перпендикуляр длиной 12 см делит гипотенузу на два отрезка, и их длины можно выразить через среднее геометрическое этих отрезков и перпендикуляр.

Но для упрощения, можно воспользоваться подходом, что точка, где перпендикуляр пересекает гипотенузу, будет симметрична по отношению к середине гипотенузы. Таким образом, расстояние от конца перпендикуляра до середины гипотенузы будет равно половине длины гипотенузы: