В треугольнике АВС угол А : угол В : угол С = 5 : 6 : 7. Через вершину С проведена прямая MN так, что MN || AB. Найдите угол MCD, где CD — биссектриса угла АСВ.

Для решения задачи давайте поэтапно разберем все данные и вычисления.

1. Известное соотношение углов в треугольнике:
   Углы треугольника $А$, $В$, и $С$ в данном случае относятся как 5 : 6 : 7. Пусть угол $А$ равен $5x$, угол $В$ равен $6x$, угол $С$ равен $7x$.

2. Сумма углов в треугольнике:
   Сумма углов любого треугольника всегда равна 180°. Поэтому:

   $$5x + 6x + 7x = 180^\circ$$ $$18x = 180^\circ$$ $$x = 10^\circ$$

   Теперь, зная значение $x$, можем найти углы треугольника:

   • угол $А = 5x = 5 \times 10^\circ = 50^\circ$,

   • угол $В = 6x = 6 \times 10^\circ = 60^\circ$,

   • угол $С = 7x = 7 \times 10^\circ = 70^\circ$.

3. Условие о прямой MN:
   Прямая MN, проведенная через вершину $С$, параллельна стороне $AB$. Это значит, что угол $\angle MNC$ будет равен углу $\angle CAB$ по теореме о соответствующих углах при параллельных прямых. Следовательно, угол $\angle MNC = 50^\circ$.

4. Биссектриса угла $ACB$:
   Биссектриса угла $ACB$ делит угол $ACB$ пополам, то есть угол $\angle ACD = \angle DCB = \frac{1}{2} \times 70^\circ = 35^\circ$.

5. Нахождение угла $MCD$:
   В треугольнике $MCD$ угол $\angle MCD$ можно выразить через угол $\angle MNC$ и угол $\angle DCB$, так как на прямой $MN$ углы $MNC$ и $MCD$ составляют прямую, а значит, их сумма равна 180°:

   $$\angle MNC + \angle MCD = 180^\circ$$

   Подставим известные значения:

   $$50^\circ + \angle MCD = 180^\circ$$ $$\angle MCD = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$$

Ответ: угол $MCD = 130^\circ$.