Найдите площадь ромба со стороной 10 см, если сумма диагоналей равна 28 см.

Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$. Из условия:

У ромба диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Значит, если сторона ромба $a=10$, то половины диагоналей $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$ образуют катеты прямоугольного треугольника, а сторона ромба — его гипотенуза. Тогда по теореме Пифагора:

Подставим $a=10$:

Теперь используем сумму диагоналей. Пусть $d_1=x$, тогда $d_2=28-x$. Подставим в уравнение:

Раскроем скобки:

Разделим на 2:

Дискриминант:

Тогда:

Значит, диагонали равны $16$ см и $12$ см.

Площадь ромба выражается через диагонали формулой:

Подставим:

Ответ: $96\ \text{см}^2$.