Что такое площадь?

Площадь — это численная мера «величины» поверхности (фигуры) в плоскости или на кривой/изогнутой поверхности. Проще говоря, она показывает, сколько места занимает фигура. Её измеряют в квадратных единицах: кв. миллиметры, сантиметры, метры, километры и т.д.; при переходе между единицами масштаб меняется в квадрате (1 м = 100 см, но 1 м² = 10 000 см²).

Ключевые идеи:

• Аддитивность: площадь объединения непересекающихся частей равна сумме площадей частей.

• Невозвратность к форме: разные формы могут иметь одинаковую площадь (круг и квадрат могут «занимать» одно и то же количество места).

• Инвариантность при движениях: если фигуры равны по форме и размеру (конгруэнтны), их площади равны.

• Масштабирование: при увеличении всех линейных размеров в $k$ раз площадь увеличивается в $k^2$ раз.

Базовые формулы в евклидовой геометрии:

• Прямоугольник: $S = a \cdot b$.

• Квадрат: $S = a^2$.

• Параллелограмм: $S = a \cdot h$ (сторона на высоту).

• Треугольник: $S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (формула Герона, где $p$ — полупериметр).

• Трапеция: $S = \frac{(a+b)}{2}\cdot h$.

• Круг: $S = \pi r^2$.

• Сектор круга: $S = \frac{\alpha}{2} r^2$ (если $\alpha$ в радианах).

• Многоугольник по координатам вершин: «формула Гаусса–шнурка».

Как находят площадь «сложных» фигур:

• Разбиение на простые части и суммирование.

• Интегрирование: $S = \int_a^b y(x)\,dx$ для криволинейной трапеции; поверхностные интегралы для поверхностей.

• Пределы площадей (метод исчерпывания): вписывают и описывают последовательности фигур, предел их площадей даёт точное значение.

Связанные понятия:

• Площадь поверхности в 3D — мера «кожи» тела (например, сфера $4\pi r^2$, цилиндр без оснований $2\pi r h$).

• Измеримая площадь (понятие меры): в общей теории меры площадь — это конкретный случай меры Лебега на плоскости. Это формализует, какие множества «имеют» площадь и какие свойства она должна удовлетворять.

Практический смысл:

• Строительство и планировка (кв. метры помещений, участков).

• Материалы и краски (сколько нужно покрытия).

• Картография и сельское хозяйство (га, км²).

• Физика и биология (площадь поперечного сечения, площадь поверхности для теплообмена и диффузии).

Итого: площадь — универсальная количественная характеристика, которая отвечает на вопрос «сколько места занимает фигура», обладает строгими математическими свойствами и удобными формулами расчёта для самых разных форм.