В остроугольном треугольнике ABC проведены высота BH и биссектриса AD, пересекающиеся в точке O. Оказалось, что угол AOB в четыре раза больше угла DAB. Чему равен угол? Варианты ответов: 30°; 45°; 60°; 75°; 90°

Пусть $\angle CAB=\alpha$. Тогда биссектриса $AD$ делит угол $A$ пополам, то есть

Точка $O$ — пересечение биссектрисы $AD$ и высоты $BH$. Поскольку $BH\perp AC$, то луч $BO$ перпендикулярен $AC$. Следовательно, угол при вершине $B$ в треугольнике $AOB$ равен

(ведь $\angle C A B=\alpha$, а $BO\perp AC$). Угол при вершине $A$ в треугольнике $AOB$ равен

(потому что $AO$ — биссектриса).

Из суммы углов треугольника $AOB$ получаем угол при вершине $O$:

По условию $\angle AOB=4\angle DAB=4\cdot\frac{\alpha}{2}=2\alpha$. Приравнивая,

Значит, искомый угол равен $60^\circ$.

Ответ: 60°.