В основании прямой треугольной призмы лежит равнобедренный треугольник ABC, у которого AB=BC=25 см, AC=30 см. Через боковое ребро AA1 проведена плоскость, перпендикулярная к ребру B1C1. Найти объем призмы, если площадь образовавшегося сечения равна 72 см².

Так как призма прямая, все боковые рёбра (в том числе $AA_1$) перпендикулярны плоскости основания.

1) Что это за сечение

Плоскость проведена через боковое ребро $AA_1$ и при этом перпендикулярна ребру $B_1C_1$.

Заметим, что ребро $B_1C_1$ лежит в верхнем основании и параллельно ребру $BC$ (соответствующие рёбра оснований призмы параллельны). Значит, условие

эквивалентно тому, что эта плоскость перпендикулярна направлению $BC$.

Поскольку плоскость проходит через $AA_1$, а $AA_1\perp (ABC)$, то плоскость сечения перпендикулярна основанию. Следовательно, сечение прямой призмы такой плоскостью — это прямоугольник, у которого:

• одна сторона равна высоте призмы $h = AA_1$,

• другая сторона равна длине отрезка пересечения этой плоскости с основанием, то есть длине следа в треугольнике $ABC$.

След плоскости в основании проходит через точку $A$ и перпендикулярен $BC$, значит это высота $AH$ треугольника $ABC$, опущенная из $A$ на $BC$.

Итак, площадь сечения:

По условию $S_{\text{сеч}}=72$, значит

2) Находим $AH$

Найдём площадь основания $S_{\triangle ABC}$ по формуле Герона.

Стороны: $AB=25$, $BC=25$, $AC=30$. Полупериметр:

Площадь:

Теперь выразим площадь через высоту $AH$ к стороне $BC=25$:

3) Находим высоту призмы $h$

4) Объём призмы

Ответ: $V=900\ \text{см}^3$.