Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120 градусам, а его основание - b. Найдите боковую сторону.

Для нахождения боковой стороны равнобедренного треугольника с углом при вершине 120° и основанием b, воспользуемся свойствами геометрии.

1. Разделим треугольник вертикальной высотой на два прямоугольных треугольника. Поскольку треугольник равнобедренный, высота делит основание пополам, и каждый из прямоугольных треугольников будет иметь основание $\frac{b}{2}$.

2. Углы при основании в равнобедренном треугольнике будут равны. Поскольку угол при вершине 120°, то углы при основании составляют $\frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

3. Теперь рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Он имеет угол в 30°, прилегающий к основанию $\frac{b}{2}$, гипотенузой, которая является боковой стороной треугольника, и катетом, равным высоте треугольника.

4. Используем тригонометрические соотношения. В прямоугольном треугольнике с углом 30° можно выразить длину боковой стороны через основание $\frac{b}{2}$ с помощью тангенса:

Значение $\tan 30^\circ$ известно и равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$, отсюда:

Решаем относительно $h$:

5. Теперь, используя синус угла 30° в прямоугольном треугольнике, можно найти боковую сторону $a$:

Поскольку $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, подставляем значение высоты $h$:

Умножаем обе стороны на $a$ и на 2:

Таким образом, боковая сторона равнобедренного треугольника равна $\frac{b}{\sqrt{3}}$.