Две стороны треугольника равны 6 см и 424\sqrt{2}42​ см, а угол между ними — 35°. Найдите третью сторону и его площадь

Для того чтобы найти третью сторону треугольника и его площадь, можно использовать формулы из тригонометрии. Пусть треугольник обозначен как ABC, где стороны AB = 6 см, AC = 4√2 см, а угол между ними ∠A = 35°.

Шаг 1: Нахождение третьей стороны (BC)

Для нахождения третьей стороны, можно воспользоваться теоремой косинусов, которая гласит:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)$

где:

• $c$ — третья сторона (BC),
• $a$ и $b$ — две известные стороны (AB и AC),
• $C$ — угол между ними (∠A).

Подставим значения:

• $a = 6$,
• $b = 4\sqrt{2}$,
• $C = 35^\circ$.

Вычислим значение косинуса угла 35°:

$\cos(35^\circ) \approx 0.819$

Теперь подставим все значения в формулу:

$c^2 = 6^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 0.819$

Выполняем вычисления:

• $6^2 = 36$,
• $(4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$,
• $2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 0.819 = 48\sqrt{2} \cdot 0.819 \approx 48 \cdot 1.414 \cdot 0.819 \approx 56.187$.

Теперь подставим:

$c^2 = 36 + 32 - 56.187 \approx 68 - 56.187 = 11.813$

Значит, третья сторона:

$c \approx \sqrt{11.813} \approx 3.44 \, \text{см}.$

Шаг 2: Нахождение площади треугольника

Теперь, зная все стороны, можно найти площадь треугольника, используя формулу площади через две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(C)$

Подставим известные значения:

• $a = 6$,
• $b = 4\sqrt{2}$,
• $C = 35^\circ$.

Сначала вычислим $\sin(35^\circ)$:

$\sin(35^\circ) \approx 0.5736$

Теперь подставим в формулу для площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 0.5736$

Вычислим:

• $6 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \approx 24 \cdot 1.414 = 33.936$,
• $S = \frac{1}{2} \cdot 33.936 \cdot 0.5736 \approx 33.936 \cdot 0.2868 \approx 9.7 \, \text{см}^2.$

Ответ:

• Третья сторона треугольника примерно равна 3.44 см.
• Площадь треугольника примерно равна 9.7 см².