Две стороны треугольника равны 6 и 4√2, а угол между ними 135°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь

Рассмотрим треугольник, у которого две стороны равны 6 и $4\sqrt{2}$, а угол между ними составляет $135^\circ$. Нам нужно найти третью сторону и площадь этого треугольника.

1. Найдём третью сторону по теореме косинусов:

Формула теоремы косинусов:

Где:

• $a = 6$,
• $b = 4\sqrt{2}$,
• $C = 135^\circ$.

Вычисляем косинус угла $135^\circ$:

Подставляем в формулу:

Выполним вычисления:

• $6^2 = 36$,
• $(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$,
• $-2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$,
• Упрощаем: $2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{2}{2} = 2 \cdot 6 \cdot 4 = 48$.

Получаем:

Третья сторона треугольника равна $2\sqrt{29}$.

2. Найдём площадь треугольника по формуле:

Так как $\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем: