В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°, AB = 4√2 см, угол B = 45°. Найдите катеты этого треугольника. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к основанию. В прямоугольнике ABCD найдите сторону BC, если CD = 1,5 см, AC = 2,5 см. Чему равна площадь прямоугольника ABCD? Одна из диагоналей ромба равна 12 см, а его острый угол равен 60°. Найдите другую диагональ ромба и его сторону. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если угол FC = угол FD = 45°, AB = 6 см, BC = 9√2 см. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 20 см, а высота относится к основанию, как 3 : 8.

1) Прямоугольный треугольник $ABC$, $\angle C=90^\circ$, $AB=4\sqrt2$ см, $\angle B=45^\circ$. Найти катеты

Так как $\angle C=90^\circ$, то $AB$ — гипотенуза. Если $\angle B=45^\circ$, то второй острый угол $\angle A$ тоже $45^\circ$. Значит, треугольник равнобедренный прямоугольный ($45^\circ-45^\circ-90^\circ$), его катеты равны и каждый равен $\dfrac{\text{гипотенуза}}{\sqrt2}$:

Ответ: $AC=4$ см, $BC=4$ см.

2) Равнобедренный треугольник: боковая сторона $17$ см, основание $16$ см. Найти высоту к основанию

Высота к основанию в равнобедренном треугольнике делит основание пополам:

Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой $17$, катетом $8$ и высотой $h$:

Ответ: $15$ см.

3) Прямоугольник $ABCD$: найти $BC$, если $CD=1{,}5$ см, $AC=2{,}5$ см. Найти площадь

В прямоугольнике диагональ $AC$ удовлетворяет теореме Пифагора:

Причём $AB=CD=1{,}5$ см. Тогда:

Площадь прямоугольника:

Ответ: $BC=2$ см, $S=3\text{ см}^2$.

4) Ромб: одна диагональ $d_1=12$ см, острый угол $60^\circ$. Найти другую диагональ и сторону

Для ромба со стороной $a$ и углом $\alpha$: