Основания прямоугольной трапеции равны 4 см и 7 см, а один из углов равен 60 градусов. Найти большую боковую сторону трапеции.

Для того чтобы найти большую боковую сторону прямоугольной трапеции, можно воспользоваться теоремой о прямоугольном треугольнике, который образуется в результате того, что одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям трапеции.

1. Пусть основания трапеции равны $a = 4 \, \text{см}$ и $b = 7 \, \text{см}$. Также известно, что угол между большим основанием и одной из боковых сторон трапеции равен $60^\circ$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором одна из боковых сторон является гипотенузой, а катетами являются вертикальное расстояние (высота трапеции) и разница между основаниями трапеции.

3. Разница между основаниями трапеции равна:

   $$b - a = 7 - 4 = 3 \, \text{см}.$$

4. Обозначим высоту трапеции через $h$. Из прямоугольного треугольника, где угол между гипотенузой и основанием равен $60^\circ$, можно найти высоту через:

   $$h = (b - a) \cdot \tan(60^\circ).$$

   Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

   $$h = 3 \cdot \sqrt{3} \approx 5.196 \, \text{см}.$$

5. Теперь, чтобы найти большую боковую сторону трапеции, можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, в котором катетами являются высота $h$ и разница между основаниями $b - a$, а гипотенузой является боковая сторона $l$:

   $$l = \sqrt{h^2 + (b - a)^2}.$$

   Подставим значения:

   $$l = \sqrt{(5.196)^2 + 3^2} \approx \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6 \, \text{см}.$$

Ответ: большая боковая сторона трапеции равна 6 см.