Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Подробное решение с объяснением. И теорему.

Теорема

Если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (если прямые лежат в одном пространстве и параллельны между собой).

Доказательство (подробно, с объяснением)

Дано: две параллельные прямые $a$ и $b$ в пространстве:

Плоскость $\alpha$ пересекает прямую $a$. То есть существует точка $A$, такая что

и при этом $a$ не лежит в $\alpha$ (иначе говорят не “пересекает”, а “лежит в плоскости”).

Нужно доказать: плоскость $\alpha$ пересекает прямую $b$, то есть у них есть общая точка.

Шаг 1. Рассмотрим плоскость, содержащую обе параллельные прямые

В пространстве две параллельные прямые $a$ и $b$ обязательно лежат в некоторой одной плоскости. Обозначим эту плоскость через $\beta$. Тогда:

(Это стандартный факт стереометрии: две параллельные прямые компланарны.)

Шаг 2. Пересечение двух плоскостей — прямая

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ либо параллельны, либо пересекаются по прямой.

Но они не могут быть параллельны, потому что у них есть общая точка $A$:
точка $A$ принадлежит $\alpha$ (по условию) и принадлежит $a$, а значит принадлежит и $\beta$ (так как $a \subset \beta$). То есть:

Если бы $\alpha \parallel \beta$, общих точек не было бы.

Значит, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой. Обозначим:

Причём точка $A$ лежит на $\ell$, так как $A$ — общая точка двух плоскостей.

Шаг 3. Покажем, что прямая $\ell$ пересекает прямую $a$

Точка $A$ лежит на прямой $a$ и на прямой $\ell$:

Значит, прямая $\ell$ пересекает прямую $a$ (в точке $A$).

Шаг 4. В плоскости $\beta$ две прямые $\ell$ и $a$ не могут быть параллельны

И $a$, и $\ell$ лежат в плоскости $\beta$:

• $a \subset \beta$ по построению;

• $\ell \subset \beta$, потому что $\ell = \alpha \cap \beta$ — линия пересечения, целиком лежащая в $\beta$.

В плоскости $\beta$ две прямые либо параллельны, либо пересекаются.
Мы уже знаем, что $\ell$ и $a$ пересекаются в точке $A$. Следовательно:

Шаг 5. Если $b \parallel a$, то $b$ не параллельна $\ell$, значит пересекает $\ell$

В плоскости $\beta$ прямая $b$ параллельна прямой $a$:

Предположим противное: что $b \parallel \ell$.
Тогда в одной плоскости $\beta$ получаем:

А это означает, что $a$ и $\ell$ должны быть параллельны (две прямые, параллельные третьей в одной плоскости, параллельны между собой). Но это невозможно, потому что $a$ и $\ell$ пересекаются в точке $A$.

Значит, предположение неверно, и верно:

Теперь снова используем факт планиметрии: в плоскости $\beta$ две прямые либо параллельны, либо пересекаются. Раз $b$ не параллельна $\ell$, то они пересекаются. То есть существует точка $B$, такая что:

Шаг 6. Точка пересечения лежит в плоскости $\alpha$, значит $\alpha$ пересекает $b$

Так как $\ell = \alpha \cap \beta$, то любая точка прямой $\ell$ принадлежит плоскости $\alpha$. В частности, точка $B \in \ell$, значит:

Одновременно $B \in b$ по определению.

Итак, найдена общая точка:

Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает прямую $b$.

Итог

Мы доказали, что из условия “плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых” следует, что она пересекает и другую.

Использованные факты (теоремы/свойства, на которые опирались)

1. Две параллельные прямые лежат в одной плоскости.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

3. В одной плоскости две прямые либо параллельны, либо пересекаются.

4. Если две прямые в одной плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.