В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами \( a = 3\sqrt{2} \) и \( b = \sqrt{2} \) и острым углом 45 градусов. Площадь боковой поверхности в 4 раза больше площади его основания. Найти высоту параллелепипеда.

Основание — параллелограмм со сторонами

и острым углом $45^\circ$.

1) Площадь основания

Площадь параллелограмма:

где $\alpha=45^\circ$, $\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$.

Подставим:

Сначала перемножим $(3\sqrt2)(\sqrt2)=3\cdot 2=6$. Тогда:

2) Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда

У прямого параллелепипеда боковая поверхность состоит из прямоугольников, и её площадь равна:

где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания, $h$ — высота.

Периметр параллелограмма:

Значит:

3) Используем условие

По условию:

Подставим найденное:

Делим обе части на $8\sqrt2$:

Ответ