40. Большее основание равнобедренной трапеции равно 8 м, боковая сторона равна 9 м, а диагональ

Ответы на вопрос

Отвечает Крамарева Арина.

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом. Нам дана равнобокая трапеция с:

Большим основанием $AB = 8 \text{ м}$ ,
Боковой стороной $AD = BC = 9 \text{ м}$ ,
Диагональю $AC = BD = 11 \text{ м}$ ,
и нужно найти меньшее основание $CD = x$ .

Пусть трапеция $ABCD$ с $AB \parallel CD$ и $AB > CD$ .

Мы знаем:

AB = 8, \quad AD = BC = 9, \quad AC = 11, \quad CD = x

Рассмотрим треугольник $ABC$ с диагональю $AC = 11$ . Боковые стороны: $AB = 8$ , $BC = 9$ , $AC = 11$ .

В треугольнике $ABC$ можно применить теорему косинусов для угла при $B$ :

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B

Подставим числа:

11^2 = 8^2 + 9^2 - 2 \cdot 8 \cdot 9 \cdot \cos \angle B

Вычислим каждое:

121 = 64 + 81 - 144 \cos \angle B

121 = 145 - 144 \cos \angle B

144 \cos \angle B = 145 - 121

144 \cos \angle B = 24

\cos \angle B = \frac{24}{144} = \frac{1}{6}

Пусть меньшее основание $CD = x$ . Треугольник $BCD$ равнобокий с боковой стороной $BC = 9$ и диагональ $BD = 11$ .

Снова применим теорему косинусов к треугольнику $BCD$ для угла при $C$ :

BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle C

11^2 = 9^2 + x^2 - 2 \cdot 9 \cdot x \cdot \cos \angle C

Так как трапеция равнобокая, $\angle B = \angle C$ . Тогда $\cos \angle C = \frac{1}{6}$ . Подставим:

121 = 81 + x^2 - 2 \cdot 9 \cdot x \cdot \frac{1}{6}

121 = 81 + x^2 - 3x

x^2 - 3x + 81 - 121 = 0

x^2 - 3x - 40 = 0

x^2 - 3x - 40 = 0

Дискриминант:

D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169

x = \frac{3 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{3 \pm 13}{2}

40. Большее основание равнобедренной трапеции равно 8 м, боковая сторона равна 9 м, а диагональ равна 11 м. Найти меньшее основание трапеции.