Градусные меры смежных углов ABC и CBD относятся как 5 : 4. Найдите угол между биссектрисами углов ABC и ABD. Сколько решений имеет задача?

Так как углы ABC и CBD смежные, их сумма равна $180^\circ$.

По условию:

Пусть:

Тогда:

Значит:

Так как углы $ABC$ и $CBD$ смежные, лучи $BA$ и $BD$ являются противоположными. Поэтому угол $ABD$ — развернутый:

Его биссектриса делит развернутый угол пополам:

Биссектриса угла $ABC$ делит угол $100^\circ$ пополам:

Теперь нужно найти угол между биссектрисами углов $ABC$ и $ABD$. Биссектриса угла $ABD$ образует с лучом $BA$ угол $90^\circ$, а биссектриса угла $ABC$ образует с лучом $BA$ угол $50^\circ$. Значит, угол между этими биссектрисами равен:

Ответ:

Задача имеет одно решение, если считать, что рассматривается тот развернутый угол $ABD$, внутри которого лежит луч $BC$. Тогда ответ однозначен: $40^\circ$.

Если же допускать обе биссектрисы развернутого угла $ABD$, то можно получить два угла между биссектрисами: $40^\circ$ и $140^\circ$. Но обычно под углом между двумя прямыми или лучами берут меньший угол, поэтому основным ответом остается:

Количество решений в стандартной школьной трактовке: