Точки M, N, K, L — середины сторон равнобедренной трапеции ABCD. Докажите, что MNKL — ромб.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC (AD || BC), AB = CD. M, N, K, L — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

Рассмотрим отрезок MN. В треугольнике ABC M и N — середины AB и BC, поэтому MN — средняя линия, значит MN || AC и MN = ½ AC.

Аналогично, LK — средняя линия треугольника ADC, поэтому LK || AC и LK = ½ AC. Следовательно, MN || LK и MN = LK.

Теперь NK — средняя линия треугольника BCD, поэтому NK || BD и NK = ½ BD. ML — средняя линия треугольника ABD, поэтому ML || BD и ML = ½ BD. Значит, NK || ML и NK = ML.

Таким образом, MNKL — параллелограмм. В равнобедренной трапеции диагонали равны: AC = BD. Тогда MN = ½ AC = ½ BD = NK. Все стороны параллелограмма равны, следовательно, MNKL — ромб.

0 0 Пожаловаться