Вершина C треугольника ABC не лежит в плоскости α, а сторона AB лежит в этой плоскости. На сторонах AC и BC отметили точки M и N соответственно, причём CM : MA = CN : NB = 2 : 5. а) Докажите, что прямая MN параллельна плоскости α. б) Найдите длину отрезка MN, если AB = 28 см.

а) Доказательство: В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) делят стороны \(AC\) и \(BC\) в одинаковом отношении: \(\frac{CM}{MA} = \frac{CN}{NB} = \frac{2}{5}\). По теореме Фалеса это означает, что прямая \(MN\) параллельна стороне \(AB\) . Так как \(AB\) лежит в плоскости \(\alpha\), а \(MN\) не лежит в этой плоскости (точка \(C\) не принадлежит \(\alpha\), значит, и точки \(M\) и \(N\) не принадлежат \(\alpha\)), то прямая \(MN\) параллельна плоскости \(\alpha\) по признаку параллельности прямой и плоскости.

б) Нахождение длины \(MN\): Из подобия треугольников \(CMN\) и \(CAB\) (по двум углам, так как \(MN \parallel AB\)) следует пропорция: \(\frac{MN}{AB} = \frac{CM}{CA}\). Отношение \(CM : MA = 2 : 5\), значит, \(CM\) составляет 2 части, а вся \(CA\) — \(2 + 5 = 7\) частей. Поэтому \(\frac{CM}{CA} = \frac{2}{7}\). Подставляем \(AB = 28\) см: \(MN = \frac{2}{7} \cdot 28 = 8\) см.

0 0 Пожаловаться