Найдите градусную меру угла B треугольника ABC, если A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1).

Найдём векторы, выходящие из вершины B:

\(\overrightarrow{BA} = A - B = (-1 - (-4); -2 - (-2); 4 - 0) = (3; 0; 4)\)
\(\overrightarrow{BC} = C - B = (3 - (-4); -2 - (-2); 1 - 0) = (7; 0; 1)\)

Скалярное произведение: \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 3 \cdot 7 + 0 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 21 + 0 + 4 = 25\)

Длины векторов: \(|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{7^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 0 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)

Косинус угла: \(\cos \angle B = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{25}{5 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{25}{25\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Значит, \(\angle B = 45^\circ\).

0 0 Пожаловаться