ПРИВЕТ!
ОЧЕНЬ СРОЧНО НУЖНО РЕШЕНИЕ!:
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К – центр грани ADD1A1.
Вычислите угол между прямыми:
а) ВВ1 и ВК;
б) А1С1 и В1К.
30 баллов за верное решение, заранее большое спасибо <3

Пусть ребро куба равно \(a\). Введём координаты:

\(A(0;0;0)\), \(B(a;0;0)\), \(D(0;a;0)\), \(A_1(0;0;a)\), \(B_1(a;0;a)\), \(C_1(a;a;a)\).

Точка \(K\) — центр грани \(ADD_1A_1\), значит:

\[K\left(0;\frac a2;\frac a2\right)\]

а) Угол между \(BB_1\) и \(BK\).

Возьмём направляющие векторы:

\[\overrightarrow{BB_1}=(0;0;a)\]

\[\overrightarrow{BK}=\left(-a;\frac a2;\frac a2\right)\]

Скалярное произведение:

\[\overrightarrow{BB_1}\cdot\overrightarrow{BK}=\frac{a^2}{2}\]

Длины:

\[|BB_1|=a\]

\[|BK|=a\sqrt{\frac32}\]

Тогда:

\[\cos\varphi=\frac{\frac{a^2}{2}}{a\cdot a\sqrt{\frac32}}=\frac1{\sqrt6}\]

Ответ:

\[\varphi=\arccos\frac1{\sqrt6}\approx 65{,}9^\circ\]

б) Угол между \(A_1C_1\) и \(B_1K\).

Направляющие векторы:

\[\overrightarrow{A_1C_1}=(a;a;0)\]

\[\overrightarrow{B_1K}=\left(-a;\frac a2;-\frac a2\right)\]

Скалярное произведение берём по модулю, потому что угол между прямыми выбирают острый:

\[|\overrightarrow{A_1C_1}\cdot\overrightarrow{B_1K}|=\left|-a^2+\frac{a^2}{2}\right|=\frac{a^2}{2}\]

Длины:

\[|A_1C_1|=a\sqrt2\]

\[|B_1K|=a\sqrt{\frac32}\]

Тогда:

\[\cos\alpha=\frac{\frac{a^2}{2}}{a\sqrt2\cdot a\sqrt{\frac32}}=\frac1{2\sqrt3}\]

Ответ:

\[\alpha=\arccos\frac1{2\sqrt3}\approx 73{,}2^\circ\]

0 0 Пожаловаться