Периметр равностороннего треугольника 144 см. Точка М равноудалена от каждой стороны этого треугольника на 19 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости треугольника.

Периметр равностороннего треугольника равен \( 144\ \text{см} \), значит его сторона:

\[ a = \frac{144}{3} = 48\ \text{см} \]

Точка \( M \) равноудалена от всех сторон, поэтому её проекция на плоскость треугольника попадает в центр треугольника. Расстояние от центра равностороннего треугольника до стороны — это радиус вписанной окружности:

\[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{48\sqrt{3}}{6} = 8\sqrt{3}\ \text{см} \]

Расстояние от точки \( M \) до каждой стороны равно \( 19\ \text{см} \). Получается прямоугольный треугольник, где гипотенуза \( 19 \), один катет \( 8\sqrt{3} \), а второй катет — искомое расстояние \( h \) до плоскости:

\[ h^2 + (8\sqrt{3})^2 = 19^2 \]

\[ h^2 + 192 = 361 \]

\[ h^2 = 169 \]

\[ h = 13\ \text{см} \]

Ответ: \( 13\ \text{см} \).

0 0 Пожаловаться