Найдите объём пирамиды. SABCD правильная, AS=12, угол SAC=45°.

Пирамида правильная, значит основание — квадрат, а вершина \( S \) находится над центром основания.

Рассмотрим треугольник \( SAC \). В правильной пирамиде боковые рёбра равны: \( AS = CS = 12 \). Дан угол \( \angle SAC = 45^\circ \), значит и \( \angle SCA = 45^\circ \). Тогда \( \angle ASC = 90^\circ \).

Треугольник \( SAC \) прямоугольный равнобедренный, поэтому:

\[ AC = 12\sqrt{2} \]

Диагональ квадрата \( AC = a\sqrt{2} \), значит сторона основания:

\[ a = 12 \]

Центр основания \( O \) — середина диагонали \( AC \), поэтому:

\[ AO = 6\sqrt{2} \]

Высота пирамиды:

\[ SO = \sqrt{AS^2 - AO^2} = \sqrt{12^2 - (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{144 - 72} = 6\sqrt{2} \]

Объём пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3}S_{осн}\cdot h = \frac{1}{3}\cdot 12^2 \cdot 6\sqrt{2} = 288\sqrt{2} \]

Ответ: \( 288\sqrt{2} \).

0 0 Пожаловаться