Найдите косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды, если все рёбра пирамиды равны, а пирамида треугольная.

Так как пирамида треугольная и все её рёбра равны, то это правильный тетраэдр. Пусть сторона каждого ребра равна $a$.

Обозначим пирамиду $SABC$, где $ABC$ — основание, а $SA$ — боковое ребро. Нужно найти косинус угла между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания $ABC$.

Угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и её проекцией на плоскость. Опустим из вершины $S$ высоту $SO$ на основание. В правильном тетраэдре точка $O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$. Тогда проекцией ребра $SA$ на плоскость основания будет отрезок $AO$. Значит, нужно найти

В равностороннем треугольнике со стороной $a$ расстояние от вершины до центра равно

А боковое ребро

В прямоугольном треугольнике $SAO$, где $SO\perp ABC$, имеем:

Подставим значения:

Ответ: