Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, все рёбра которой равны 4. Через точки A, С₁ и середину T ребра А₁В₁ проведена плоскость. а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником. б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.

Решу задачу в координатах — так нагляднее проследить и сечение, и углы.

Пусть основание призмы $ABC A_1B_1C_1$ лежит в плоскости $z=0$, а высота идёт вдоль оси $z$. Все рёбра равны 4.

Выберем координаты:

• $A(0,0,0)$,

• $B(4,0,0)$,

• $C(2,2\sqrt{3},0)$ — так треугольник $ABC$ будет правильным со стороной 4;

• верхние вершины:

  • $A_1(0,0,4)$,

  • $B_1(4,0,4)$,

  • $C_1(2,2\sqrt{3},4)$.

Точка $T$ — середина ребра $A_1B_1$, значит:

Плоскость сечения проходит через точки $A$, $C_1$, $T$.

а) Докажем, что сечение — прямоугольный треугольник

Точки $A$, $C_1$, $T$ лежат на гранях призмы, значит пересечение плоскости с призмой — треугольник $ATC_1$.

Рассмотрим векторы, соответствующие сторонам этого треугольника.

1. Вектор $\overrightarrow{TA}$:

2. Вектор $\overrightarrow{TC_1}$:

Скалярное произведение этих векторов:

Раз скалярное произведение равно нулю, то векторы $\overrightarrow{TA}$ и $\overrightarrow{TC_1}$ перпендикулярны, а значит угол при вершине $T$ — прямой.

Следовательно, треугольник $ATC_1$ является прямоугольным, с прямым углом при точке $T$.

б) Угол между плоскостью сечения и плоскостью $ABC$

Плоскость основания $ABC$ — это просто плоскость $z=0$.

Найдём нормаль к плоскости сечения $ATC_1$.

Возьмём два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости сечения, например: