Номер 402
Найдите стороны равнобедренного треугольника, если одна из них меньше периметра на 30 см, а другая — на 40 см.

Номер 404
Найдите углы равнобедренного треугольника, если сумма двух из них равна 60°.

Номер 405
Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен 15°.

Разберу каждую задачу отдельно и учту, что в равнобедренном треугольнике две стороны или два угла равны.

№ 402

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны $a, a, b$, где $a$ — боковая сторона, $b$ — основание.

Периметр:

Если сторона меньше периметра на 30 см, значит сумма двух других сторон равна 30 см.
Если другая сторона меньше периметра на 40 см, значит сумма двух других сторон равна 40 см.

Возможны два случая.

1-й случай: боковая сторона меньше периметра на 30 см, а основание — на 40 см.

Тогда:

и

Отсюда:

Тогда:

Получаем стороны:

2-й случай: основание меньше периметра на 30 см, а боковая сторона — на 40 см.

Тогда:

и

Получаем стороны:

Оба треугольника возможны, потому что сумма двух меньших сторон больше третьей.

Ответ:

или

№ 404

В равнобедренном треугольнике два угла равны. Пусть они равны $x$ и $x$, а третий угол равен $y$.

Тогда:

По условию сумма двух углов равна $60^\circ$.

Если сумма равных углов равна $60^\circ$, то:

Тогда третий угол:

Если же взять один равный угол и третий угол, то их сумма должна быть $60^\circ$, но тогда оставшийся равный угол оказался бы больше суммы этих двух, что невозможно для суммы углов треугольника.

Значит, подходит только первый случай.

Ответ:

№ 405

Внешний угол треугольника смежен с внутренним углом, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

Если внешний угол равен $15^\circ$, то внутренний угол при этой вершине равен:

В равнобедренном треугольнике два угла равны. Угол $165^\circ$ не может быть одним из равных углов, потому что тогда два угла дали бы уже:

Это невозможно.

Значит, угол $165^\circ$ — это угол при вершине, а два угла при основании равны.

Их сумма:

Каждый из них равен:

То есть:

Ответ:

или