Две боковые грани наклонной призмы — ромбы с острым углом 30 градусов, а третья боковая грань — квадрат. Высота призмы равна 4√2 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Обозначим длину бокового ребра призмы через $a$.

Высота призмы — это перпендикулярная составляющая бокового ребра к плоскости основания. Боковое ребро наклонено к основанию под углом $45^\circ$, поэтому

По условию:

откуда

Значит, длина бокового ребра равна $8$ см.

Так как две боковые грани являются ромбами, их стороны равны длине бокового ребра:

Площадь одного ромба с острым углом $30^\circ$:

Две такие грани имеют площадь:

Третья боковая грань — квадрат со стороной $8$ см, поэтому:

Площадь всей боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех боковых граней:

Ответ: $128\text{ см}^2$.