Если площадь вписанного в окружность равнобедренного треугольника с углом 45° при вершине составляет √2 + 1, то радиус этой окружности равен...

Пусть дан равнобедренный треугольник, вписанный в окружность. Угол при вершине равен $45^{\circ }$. Тогда два угла при основании равны:

Обозначим радиус окружности через $R$.

Для вписанного треугольника площадь можно выразить через радиус описанной окружности:

Также удобно использовать формулу через стороны и углы:

Здесь:

Тогда:

Найдем значение синусов.

А

Используем формулу половинного угла:

Тогда:

Подставляем:

Сокращаем:

Раскроем скобки:

Получаем:

По условию:

Значит:

Делим на $\sqrt{2}+1$: