Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, длина катетов которого равны 6 и 8 см. Боковые ребра наклонены к основанию пирамиды под углом 45 градусов. Найдите объем.

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами $6$ см и $8$ см.

Площадь основания:

Теперь найдём высоту пирамиды.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $O$ — основание её высоты. Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом $45^{\circ }$.

Если $A$, $B$, $C$ — вершины основания, то для каждого бокового ребра, например $SA$,

Поскольку $\tan 45^{\circ }=1$, получаем

Аналогично:

Следовательно, точка $O$ равноудалена от всех трёх вершин треугольника, то есть является центром его описанной окружности.

У прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится в середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.

Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

Значит, радиус описанной окружности:

Так как $SO=R$, высота пирамиды равна

Объём пирамиды:

Подставляем значения:

Ответ: $\boxed{40{\text{ см}}^3}$.