Основанием пирамиды служит прямоугольный равнобедренный треугольник с катетом 6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов. Найти объём.

Основание — прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами по 6, значит площадь основания:

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $H$ — проекция вершины $S$ на плоскость основания (то есть основание высоты пирамиды). Высота пирамиды равна $SH=h$.

Дано: боковые рёбра (то есть $SA, SB, SC$) наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$. Угол между ребром и плоскостью — это угол между ребром и его проекцией на плоскость. Проекция ребра $SA$ на основание — это отрезок $HA$. Тогда в прямоугольном треугольнике $SAH$ (прямой угол при $H$):

То же самое верно для $SB$ и $SC$. Поскольку угол один и тот же ($30^\circ$), получаем:

Значит, точка $H$ равноудалена от всех трёх вершин треугольника основания, то есть $H$ — центр описанной окружности треугольника (его циркумцентр). Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.

Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами 6:

Тогда радиус описанной окружности:

Но $R=HA$. Подставляем в формулу с тангенсом:

Теперь объём пирамиды:

Ответ: $\boxed{6\sqrt6}$.