1. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов. Найдите высоту пирамиды.
2. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 4 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 60 градусов. Найдите большую диагональ параллелепипеда.

1. Правильная четырёхугольная пирамида

Дано:

• сторона основания $a=8$ см;

• боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $45^{\circ }$;

• найти высоту пирамиды $h$.

В правильной четырёхугольной пирамиде вершина находится над центром квадрата основания. Рассмотрим треугольник, образованный:

• высотой пирамиды $h$;

• боковым ребром;

• отрезком от центра основания до вершины квадрата.

Расстояние от центра квадрата до его вершины равно половине диагонали квадрата:

Подставляем $a=8$:

Боковое ребро образует с плоскостью основания угол $45^{\circ }$. В прямоугольном треугольнике:

Так как:

получаем:

Ответ:

2. Прямоугольный параллелепипед

Дано:

• стороны основания: $3$ см и $4$ см;

• диагональ образует с плоскостью основания угол $60^{\circ }$;

• найти большую диагональ параллелепипеда.

Сначала найдём диагональ основания:

Диагональ параллелепипеда $D$ образует с плоскостью основания угол $60^{\circ }$. Проекция этой диагонали на основание равна диагонали основания:

Так как:

получаем:

Отсюда:

Ответ:

Итоговые ответы:

1. $\boxed{4\sqrt{2}\text{ см}}$

2. $\boxed{10\text{ см}}$