2. Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На отрезке АС как на диаметре построена окружность, которая пересекает луч DB в точке Е, лежащей вне параллелограмма; ∠ВАЕ + ∠BCE = 60°. Найдите расстояние между прямыми ВС и AD, если АВ = 10 см.

Дано:

• $ABCD$ — параллелограмм, $\angle A$ — острый.

• $AB=10$ см.

• На отрезке $AC$, как на диаметре, построена окружность.

• Окружность пересекает луч $DB$ в точке $E$, лежащей вне параллелограмма.

• $\angle BAE+\angle BCE=60^\circ$.

Найти: расстояние между прямыми $BC$ и $AD$.

Решение

1. Используем свойство окружности.

Поскольку точка $E$ лежит на окружности с диаметром $AC$, угол $AEC$ является вписанным углом, опирающимся на диаметр.

Следовательно,

То есть

2. Найдём угол $BAD$.

Обозначим:

По условию:

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны:

Отсюда:

Поскольку точка $E$ лежит на продолжении диагонали $DB$ за точку $B$, луч $CB$ находится внутри угла $DCE$. Поэтому

Таким образом,

С другой стороны, из перпендикулярности $AE$ и $CE$, а также параллельности $AB$ и $CD$ следует:

Приравниваем полученные выражения:

Переносим углы:

Учитывая, что $\alpha+\beta=60^\circ$, получаем:

Следовательно,

3. Найдём расстояние между прямыми $BC$ и $AD$.

Поскольку $BC\parallel AD$, расстояние между этими прямыми равно высоте параллелограмма, проведённой из вершины $B$ к прямой $AD$.

Опустим из точки $B$ перпендикуляр $BH$ на прямую $AD$.

Тогда $BH$ — искомое расстояние.

В прямоугольном треугольнике $ABH$:

По определению синуса: