Решение

Дано:

• Радиус кругового сектора — $R$.

• Центральный угол сектора — $60^\circ$.

• Ось вращения — один из радиусов сектора.

Найти: $V$ — объём тела вращения.

1. Геометрический смысл задачи

При вращении кругового сектора вокруг одного из его радиусов образуется часть шара радиуса $R$, ограниченная круговым конусом с углом $60^\circ$ относительно оси вращения.

Для вычисления объёма воспользуемся сферическими координатами.

2. Запишем формулу объёма

В сферических координатах элемент объёма выражается формулой

где $r$ — расстояние от центра, $\theta$ — угол с осью вращения, $\varphi$ — угол поворота вокруг этой оси.

Пределы интегрирования:

Следовательно,

3. Вычислим интегралы

Сначала вычислим интеграл по $r$:

Затем интеграл по $\theta$:

Наконец,

Перемножим результаты:

Получаем:

Решение также оформлено на отдельном листе в формате PDF для просмотра и распечатки.

Скачать решение на листе (PDF)