Внутри треугольника ABC к стороне BC проведена прямая AD так, что угол CAD равен углу ACD. Периметры треугольников ABC и ABD соответственно равны 37 и 24. Найдите длину AC.

Так как $\angle CAD=\angle ACD$, треугольник $ACD$ равнобедренный, поэтому $AD=DC$.

Обозначим $AD=DC=x$, а $AB=a$, $BD=b$. Тогда $BC=BD+DC=b+x$.

По условию периметр треугольника $ABC$ равен 37:

Периметр треугольника $ABD$ равен 24:

Вычтем равенство (2) из равенства (1):

Ответ: $13$.