Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 40. На каком расстоянии от плоскости треугольника находится центр сферы, которая имеет радиус 65 и проходит через все вершины треугольника?

Дано:

• Катеты прямоугольного треугольника: $a=30$, $b=40$.

• Радиус сферы: $R=65$.

Найти: расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Решение

1. Найдём гипотенузу треугольника.

По теореме Пифагора:

2. Найдём радиус описанной окружности треугольника.

Поскольку треугольник прямоугольный, центр описанной окружности находится в середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы:

3. Найдём расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Опустим перпендикуляр из центра сферы на плоскость треугольника.

Основание этого перпендикуляра совпадает с центром описанной окружности треугольника, поскольку центр сферы равноудалён от всех трёх вершин.

Получаем прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза равна радиусу сферы $65$;

• один катет равен радиусу описанной окружности $25$;

• второй катет $h$ — искомое расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

По теореме Пифагора:

Подставим значения:

Ответ:

Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 60.