Геометрия, 8 класс. Тригонометрические функции в геометрии

Тригонометрические функции — это математические зависимости, которые связывают величины углов прямоугольного треугольника с отношениями длин его сторон. В геометрии они помогают находить неизвестные стороны и углы треугольников, вычислять расстояния и решать различные практические задачи.

В 8 классе обычно изучают три основные тригонометрические функции: синус, косинус и тангенс.

1. Прямоугольный треугольник

Прежде чем изучать тригонометрические функции, необходимо вспомнить элементы прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого равен 90°.

Его стороны имеют специальные названия:

• Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Она является самой длинной стороной треугольника.

• Катеты — две стороны, образующие прямой угол.

• Противолежащий катет — катет, расположенный напротив рассматриваемого острого угла.

• Прилежащий катет — катет, который образует рассматриваемый острый угол вместе с гипотенузой.

Например, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C равен 90°. Тогда AB — гипотенуза, AC и BC — катеты.

2. Синус угла

Синус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Формула:

Где:

• $\alpha$ — рассматриваемый острый угол;

• $a$ — противолежащий катет;

• $c$ — гипотенуза.

Например, если противолежащий катет равен 3 см, а гипотенуза — 5 см, то:

Следовательно, синус этого угла равен 0,6.

3. Косинус угла

Косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Формула:

Где:

• $b$ — прилежащий катет;

• $c$ — гипотенуза.

Например, если прилежащий катет равен 4 см, а гипотенуза — 5 см, то:

Значит, косинус данного угла равен 0,8.

4. Тангенс угла

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Формула:

Где:

• $a$ — противолежащий катет;

• $b$ — прилежащий катет.

Например, если противолежащий катет равен 3 см, а прилежащий — 4 см, то:

5. Основные тригонометрические функции

Для удобства запомним все три формулы:

Также существует котангенс:

6. Значения тригонометрических функций некоторых углов

В геометрии часто используются углы 30°, 45° и 60°. Для них существуют специальные значения синуса, косинуса и тангенса.